شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | تبدیل های هندسی](https://dl2.my-dars.com/upload/image/01 (1)1743945059.jpg)
یکی از مفاهیم مهم در هندسه، تبدیل های هندسی است. وضعیت های مختلفی که هر شکل در اثر حرکت مجموعه نقاطش در صفحه پیدا می کند، در نتیجه یک تبدیل است.
تبدیل های مهم عبارت اند از: بازتاب، انتقال، دوران و تجانس
این تبدیل ها موقعیت یا اندازه شکل را تغییر می دهند.
تبدیل T در صفحه تابعی است که به هر نقطه A از صفحه دقیقا یک نقطه مانند \(A'\) از همان صفحه را نظیر کند.
\(\begin{array}{l}T:P \Rightarrow P\\\\T\left( A \right) = A'\end{array}\)
عبارت \(T\left( A \right) = A'\) یعنی \(A'\) تصویر نقطه A تحت تبدیل T است.
همچنین شکلی که از تبدیل شکل اولیه حاصل می شود را تصویر آن می نامند.
هر تبدیلی که طول پاره خط را حفظ می کند تبدیل طولپا یا ایزومتری نامیده می شود؛ به عبارت دیگر:
اگر \(A'\) تصویر A تحت تبدیل T باشد آنگاه \(T\left( A \right) = A'\)
اگر \(B'\) تصویر B تحت تبدیل T باشد آنگاه \(T\left( B \right) = B'\)
حال اگر T ایزومتری باشد آنگاه \(AB = A'B'\)
هر تبدیل طولپا اندازه زاویه را حفظ می کند. (یعنی اندازه زاویه تصویر و خود زاویه مساوی است.)
اثبات
فرض کنیم T تبدیل طولپا باشد و زاویه \(A'\hat O'B'\) تصویر \(A\hat OB\) تحت این تبدیل باشد.
\(\begin{array}{l}T\left( A \right) = A'\\\\T\left( O \right) = O'\\\\T\left( B \right) = B'\\\\ \Rightarrow AO = A'O'\\\\BO = B'O'\\\\AB = A'B'\\\\ \Rightarrow A\mathop O\limits^\Delta B \cong A'\mathop {O'}\limits^\Delta B' \Rightarrow \hat O = \hat O'\end{array}\)
مثال
نقاط \(A\left( {3,3} \right)\) ، \(B\left( {1, - 1} \right)\) و \(C\left( { - 2,2} \right)\) راس های یک مثلث هستند.
الف مثلث و تصویرش را تحت تبدیل \(T\left( {x,y} \right) = \left( {x + 2, - y} \right)\) رسم کنید.
\(\begin{array}{l}T\left( A \right) = A'\\\\ \Rightarrow T\left( {3,3} \right) = \left( {3 + 2, - 3} \right) = \left( {5, - 3} \right)\\\\T\left( B \right) = B'\\\\ \Rightarrow T\left( {1, - 1} \right) = \left( {1 + 2,1} \right) = \left( {3,1} \right)\\\\T\left( C \right) = C'\\\\ \Rightarrow T\left( { - 2,2} \right) = \left( { - 2 + 2, - 2} \right) = \left( {0, - 2} \right)\end{array}\)
ب آیا این تبدیل طولپا است؟ چرا؟
\(\begin{array}{l}AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \\\\ \Rightarrow \sqrt {{{\left( {1 - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 3} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} \\\\ \Rightarrow \sqrt {4 + 16} = \sqrt {20} \\\\A'B' = \sqrt {{{\left( {{{x'}_B} - {{x'}_A}} \right)}^2} + {{\left( {{{y'}_B} - {{y'}_A}} \right)}^2}} \\\\ \Rightarrow \sqrt {{{\left( {3 - 5} \right)}^2} + {{\left( {1 - \left( { - 3} \right)} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {4^2}} \\\\ \Rightarrow \sqrt {4 + 16} = \sqrt {20} \end{array}\)
از اثبات بالا نتیجه می گیریم که \(AB = A'B'\) به طور مشابه \(AC = A'C'\) و \(BC = B'C'\) یعنی تبدیل T طول پاره خط را حفظ می کند، لذا طولپا است
تبدیل یافته هر خط راست یک خط راست است. لذا برای پیدا کردن تبدیل یافته یک خط کافی است تبدیل یافته دو نقطه دلخواه از آن را پیدا کرده و تصویر خط را رسم کرد و حتی معادله تصویر را بدست آورد.
نقطه ای که تصویر آن بر خودش منطبق باشد، نقطه ثابت تبدیل می نامیم.
تصویر خط \(x + y = 2\) را تحت تبدیل \(T\left( {x,y} \right) = \left( {x + 1,y + 2} \right)\) رسم کنید و معادله تصویر را بدست آورید.
دو نقطه دلخواه از خط را بدست می آوریم.
\(\begin{array}{l}x + y = 2\\\\x = 0 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow A\left( {0,2} \right)\\\\y = 0 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow B\left( {2,0} \right)\\\\T\left( A \right) = A' \Rightarrow T\left( {0,2} \right)\\\\\left( {0 + 1,2 + 2} \right) = A'\left( {1,4} \right)\\\\T\left( B \right) = B' \Rightarrow T\left( {2,0} \right)\\\\\left( {2 + 1,0 + 2} \right) = B'\left( {3,2} \right)\end{array}\)
برای نوشتن معادله تصویر کافی است شیب آن را بدست آوریم:
\(\begin{array}{l}{m_{A'B'}} = \frac{{2 - 4}}{{3 - 1}} = \frac{{ - 2}}{2} = - 1\\\\y - {y_{A'}} = {m_{A'B'}}\left( {x - {x_{A'}}} \right)\\\\ \Rightarrow y - 4 = - 1\left( {x - 1} \right) \Rightarrow y = - x + 5\end{array}\)
تهیه کننده: امیرحسین مطلبی
1736019749.png)
